Статья 3215

Название статьи

МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЮЛЛЕРА

Авторы

Спиридонов Александр Олегович, аспирант, Казанский (Приволжский) федеральный университет (Россия, г. Казань, ул. Кремлевская, 18), sasha_ens@mail.ru
Карчевский Евгений Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра прикладной математики, Казанский (Приволжский) федеральный университет (Россия, г. Казань, ул. Кремлевская, 18), sasha_ens@mail.ru
Носич Александр Иосифович, доктор физико-математических наук, профессор, лаборатория микро- и нанооптики, Институт радиофизики и электроники Национальной академии наук Украины (Украина, г. Харьков, ул. Академика Проскуры, 12), sasha_ens@mail.ru

Индекс УДК

517.9

Аннотация

Актуальность и цели. Ряд спектральных задач теории оптических волноводов и резонаторов сводится к нелинейным задачам поиска характеристических чисел граничных интегральных уравнений Мюллера. Одним из эффективных численных методов решения подобных задач является метод коллокации. Основные цели настоящей работы: реализация метода коллокации для поиска поверхностных и вытекающих собственных волн слабонаправляющего волновода с кусочнопостоянной диэлектрической проницаемостью, теоретическое доказательство сходимости этого метода. Численное решение исследуемой в работе задачи ранее проводилось методом коллокации на основе интегральных уравнений, построенных методом потенциала простого слоя. Поэтому одна из целей данной работы – выяснить, какой из методов построения интегральных уравнений является более эффективным с практической точки зрения при численном решении поставленной задачи: метод граничных интегральных уравнений Мюллера или метод потенциала простого слоя.
Материалы и методы. Доказательство сходимости метода коллокации опирается на общие результаты теории дискретной сходимости проекционных методов решения нелинейных спектральных задач и теории аппроксимации слабосингулярных интегральных уравнений. Сравнительный анализ практической эффективности метода граничных интегральных уравнений Мюллера и метода потенциала простого слоя проводится на основе численных экспериментов решения модельных задач.
Результаты. Доказано, что если решение поставленной задачи существует, то существует последовательность характеристических чисел матрицы метода коллокации, сходящаяся при увеличении числа точек коллокации к точному решению. С другой стороны, если существует сходящаяся последовательность упомянутых выше характеристических чисел, то она сходится к точному решению задачи. Численные эксперименты показали сходимость и устойчивость метода коллокации.
Выводы. Метод коллокации является теоретически обоснованным методом решения поставленной задачи с гарантированной сходимостью. Однако дискретизация интегральных уравнений с логарифмической особенностью ядер предложенным вариантом метода коллокации (метод сплайн-коллокации нулевого порядка) неэффективна для слишком малых шагов сетки. Кроме того, метод потенциалов простого слоя не дает преимущества во времени счета по сравнению с использованием граничных интегральных уравнений Мюллера. Поэтому в силу полной эквивалентности системы граничных интегральных уравнений Мюллера исходной дифференциальной задаче их использование для ее численного решения предпочтительнее.

Ключевые слова

диэлектрический волновод, задача на собственные значения, интегральные уравнения, метод коллокации.

Скачать статью в формате PDF
Список литературы

1. Spectra, thresholds, and modal fields of a kite-shaped microcavity laser / E. I. Smotrova, V. Tsvirkun, I. Gozhyk, C. Lafargue, C. Ulysse, M. Lebental, A. I. Nosich // J. Opt. Soc. Am. B. – 2013. – Vol. 30, № 6. – P. 1732–1742.
2. Wang, L. Modal analysis of homogeneous optical waveguides by the boundary integral formulation and the Nystroem method / L. Wang, J. A. Cox, A. Friedman // J. Opt. Soc. Am. A. – 1998. – Vol. 15, №1.–P.92–100.
3. Спиридонов, А. О. Граничные интегральные уравнения Мюллера в спектральной теории диэлектрических волноводов / А. О. Спиридонов, Е. М. Карчевский, А. И. Носич // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2015. – № 1(33).–С.24–36.
4. Vainikko, G. Multidimensional weakly singular integral equations / G. Vainikko. – Springer, 1993. – 159 p.
5. Смирнов, Ю. Г. Математические методы исследования задач электродинамики. / Ю. Г. Смирнов. – Пенза : Инф.-изд. центр ПГУ, 2009. – 268 с.
6. Spiridonov, A. O. Projection methods for computation of spectral characteristics of weakly guiding optical waveguides / A. O. Spiridonov, E. M. Karchevskiy // Proceedings of International Conference Days on Diffraction (St. Petersburg, Russia, May 27–31, 2013). – St. Petersburg, Russia, 2013. – P. 131–135.
7. Spiridonov, A. O. Parallel computing for numerical calculations of step-index optical fibers eigenmodes by collocation method / A. O. Spiridonov, E. M. Karchevskii // Proceedings of International Conference Days on Diffraction (St. Petersburg, Russia, May 26–30, 2014). – St. Petersburg, Russia, 2014. – P. 209–214.
8. Вайникко, Г. М. О быстроте сходимости приближенных методов в проблеме собственных значений с нелинейным вхождением параметра / Г. М. Вайникко, О. О. Карма // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1974. – Т. 14, № 6. – С. 1393–1408.
9. Карчевский, Е. М. Численное решение задачи о распространении электро-магнитных волн в слабонаправляющих волноводах / Е. М. Карчевский, А. Г. Фролов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2011. – № 1 (17). – С. 47–57.
10. Neumaier, A. Residual inverse iteration for the nonlinear eigenvalue problem / A. Neumaier // SIAM J. Numer. Anal. – 1985. – Vol. 22, № 5. – P. 914–923.

 

Дата создания: 31.07.2015 11:39
Дата обновления: 20.10.2015 14:56